Objectif du projet :
Faire découvrir par l'interaction les propriétés géométriques du triangle de Reuleaux. En effet, cette courbe de largeur constante partage de nombreuses propriétés avec le cercle, et pour un même périmètre que ce dernier offre une surface minimale. Les propriétés du triangle de reuleaux sont assez contre-intuitive et la manipulation d'objet physique 3D peut aider à mieux se représenter ces propriétés.
Le matériel pourra donc servir à découvrir les propriétés suivantes :
- Une courbe de largeur constante. L'élève s'apercevra que la pièce peut, comme le cercle, tourner dans un carré en restant en permanance en contact avec les bors de ce dernier. De même si l'élève dispose un livre sur un tapis de triangle de reuleaux, le livre roulera tout à fait comme sur un tapis de roue.
- Une surface minimale pour un même périmètre. Le fameux théorème de Wilhelm Blaschke., une propriété qu'on a du mal à visulaliser mentalement. L'élève pourra enrouler une corde autour d'un triangle de reuleaux, puis autour d'un cercle de même diamètre et vérifier la propriété.
Ou à illustrer (entre autre) :
- Le fonctionnement de moteurs à pistons rotatifs (voir moteur Wankel). L'apprenant pourra faire tourner le triangle dans une pièce ovale.
- Une manière d'obtenir un mouvement quadrilatère à partir d'un mouvement circulaire (par exemple manivelle). Voir illustration d'un système simple de changement de frame dans un projecteur. Pour le projecteur, des pièces suplémentaires sont nécessaires. Celle-ci ne sont pas disponible sur le site en version imprimable (mais le seront peut-être bientôt).
Auteur vidéo inconnu, issu d'un cours sur la didactique des mathématique de Jean-Luc Dorier, Université de genève.
Pièce principale :
triangle de Reuleaux
Un triangle de releaux de 8 cm de diamètre et de 2 centimètres de haut. La pièce est légèrement creusé d'un triangle équilatéral pour rappeler aux apprenants la contruction de base de cette pièce.
Selon l'utilisation il sera nécessaire que la pièce soit percé de trou de différentes taille (passer la pointe d'un crayon à l'intérieur par exemple. Mais il est plus simple de l'imprimer tel quel et de percer ensuite les trous à l'aide d'une perceuse et d'un forêt de la taille souhaité.
Ci-dessous un aperçu de la pièce et de son maillage dans NetFabb :
Ci-dessous une version percée du triangle afin de la faire tourner autour d'un axe fixe.
Pièces pour interactions
Cercle comparatif
Un cercle de 8 centimètre de diamètre et de 2 cm de haut. ci-dessous une copie d'écran dans NetFabb.
Si l'on superpose le cercle et le triangle de reuleaux on s'aperçoie que si tout deux on une courbure constante de diamètre 8 cm, cela ne veut pas dire que l'un peut contenir l'autre.
On peut remarquer qu'en bas à droite l'air du cercle est de 150cm2 our un volume de 100cm3 en comparaison l'air de notre triangle de releaux est de 141cm2 pour un volume de 87cm3
Etaux
Une pièce en forme d'éteaux. Elle est à la dimension du triangle, il est possible de tourner autour du triangle de Releaux et de vérifier ainsi sa courbure constante (voir représentation ci-dessous). On peux aussi placer le triangle à l'intérieur, le percer d'un trou en son centre et y insérer un crayon. En faisant rouler le triangle d'un bout à l'autre le crayon dessinera un mouvement sinusoïdal.
Ovale (moteur Wankel, piston)
Une pièce pour comprendre le fonctionnement d'un moteur à 4 temps.
Etapes de construction :
Si la réalisation en elle-même ne prend que 5 minutes lorsque l'on connait la manière de procédé, cela m'a demandé un bon travail de réflexion en amont. C'est pourquoi je développe la méthode de conception étape par étape ci-dessous. Elle a l'avantage de fournir un triangle de releaux géométriquement exacte avec un maillage propre et sans trou. De plus elle possède éventuellement un certain enjeu didactique dans le cas d'une activité dirigé(Attention Blender est difficile, une fiche étape par étape très détaillé est nécessaire) de conception en classe car je me suis inspiré du principe de construction "scolaire" avec règle et compas. Les reports de longueur opérés permettent de mieux comprendre d'où provient la courbure constante de la pièce. Les Etapes de constructions ci-dessous ne sont pas suffisament détaillé pour ètre réalisable par un public totalement débutant avec le logiciel. Des connaissances sur l'utilisation du logiciel sont requise. Enfin signalons qu'il ne faut pas oublier d'activer dans Blender l'affichage de la longueur des cotés et de la mesure des angles pour être sur de travailler précisément. (Ne pas faire de rotation ni de d'agrandissement à la main, mais taper avec le clavier les valeurs d'angles et d'agrandissement.)
Etape 1
J'ai commencer par réaliser un triangle équilatéral dont chaque coté mesure 2 unités blender. Puis comme pour simuler le tracé d'un compas, j'ai dupliquer un des cotés et coller avec une rotation de rotation de 2.5 degré sur l'axe vertical(z) (raccourci clavier ctrl+c > ctrl+v > r > z >2.5). J'ai fini par obtenir 25 points exactement à 2 unité blender du point de départ que j'ai relier ensemble. Il me suffit ensuite de supprimer les très de construction
Etape 2
J'ai selectionner les 25 points créer et je les ai dupliquer. Je les ai ensuite coller sur les deux autres coté en effet miroir et je les ai fusionner à la figure.
Etape 3
J'ai ensuite selectioner les trois coté du triangle central et j'ai former une face. J'ai subdiviser cette face par 2, 3 fois de suites.
Etape 4 :
J'ai sélectionné ensuite les points extérieurs et j'ai opérer un remplissage automatique (ctrl-f). J'ai répété l'opération pour les deux autres cotés.
Etape 5 :
Nous avons le maillage de notre pièce "à plat". Il suffit enfin de selectionner toutes les faces et de faire une extrusion verticale pour obtenir une pièce en volume. Hauteur 0,5 unité blender.
